| 保险公司赔付及破产的随机模拟与分析 |
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| 作者：佚名 文章来源：网络整理 点击数： 更新时间：2007-7-22 20:58:08 |
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的增函数，即当0tT时，保险公司持有的期望保单数是一个递增过程。
当t＞T时，保单到达过程｛M(t)｝仍是速率为λ的Poisson流，这时，保单到期成为可能发生的系统事件，如无理赔发生，保单到期过程｛W(t)｝只是保单到达过程｛M(t)｝的重现，但由于理赔事件出现，使得保单到期速率小于λ。然而由于理赔发生的速率远远小于保单到达的速率(如(1.2)式)，根据实际经验理赔发生仅占保单总数的万分之五左右，因此，保单减少(理赔或保单到期)的时间间隔近似可视为服从参数为λ的指数分布。所以，当t＞T时，保单减少的速率与保单到达的速率几乎相同(=λ)。由此可知，在T时刻以后保险公司的保单数呈稳定状态，保单数在(2.3)式所给出的均值E［Y(t)］附近波动。
综合上述，t时刻保险公司的保单总数可由下式描述：
(2.4)
其中n0是初始保单数，W(t)是保单到期数。
我们将通过具体实例对｛Y(t)｝与｛M(t)｝,｛N(t)｝,｛W(t)｝之间的数量关系加以分析，并利用随机模拟对保险公司持有保单数进行研究。
例1.考虑1年期人寿保险，保单到达速率为λ=20张／天，理赔发生速率为μ=0.01次／天。用随机模拟［3］按照(1.1)相应的分布独立地产生过程｛M(t),0≤t≤T0｝和｛N(t),0≤t≤T0｝，其中T0=2190天(六年)。由此得到保单到期过程｛W(t),0≤t≤T0｝，并由(2.4)式计算出持有保单数过程｛Y(t),0≤t≤T0｝。图1给出了随机模拟所得样本轨道。
图1 随机模拟的样本轨道
表1 Pr｛Y(t)=n｝的理论论值和随机模拟值
t=180 n ［3201，3300］ ［3301，3400］ ［3401，3500］ ［3501，3600］ ［3601，3700］ ［3701，3800］ ［3801，3900］ ［3907，4000］
理论值 .000000 .000446 .050833 .465110 .438986 .044210 .000414 .000000
模拟值 .000000 .000000 .053000 .433000 .458000 .050000 .000000 .000000
t=360 n ［680，69001］ ［6910，7000］ ［7001，7100］ ［7101，7200］ ［7210，7300］ ［7301，7400］ ［7401，7500］ ［7501，7600］
理论值 .000224 .010034 .118881 .390903 .369771 .101885 .001184 .000001
模拟值 .000000 .010000 .129000 .360000 .372000 .106000 .011000 .000000
从图1中我们看到，当tT时，Y(t)近似为单调增函数，而T时刻以后，保单数Y(t)在7300(=λY=20×365)上下波动。令Q(t)=W(t)+N(t)是t时刻的保单移出数。在给定参数λ，μ及T之下，我们得到t=T0时有关参数的1000次随机模拟的平均值为：
△M(T0) △N(T0) △W(T0) △Q(T0) Y(T0) N(T0)／M(T0)
19.9982 0.009968 19.9904 20.0003 7297.8900 .0004996
.1038 0.002389 0.1010 0.1022 36.3318 .0001344
其中第二行是各量相应的标准差。我们看到保单到达速率△M(T0)与λ十分接近，而索赔速率△N(T0)与到期速率W(T0)之和近似等于保单移出速率Q(T0)。此外，N(T0)／M(T0)μ／λ，Y(T0)7300，这些都是与理论分析相符的。
表1是在t=180及360时概率Pr｛Y(t)=n｝的部分理论值和模拟值。理论值用(2.2)式计算，模拟值是在同样参数下进行1000次模拟所得频数。理论值和模拟值是非常接近的。
§3.破产模型
人们所关心的是保险公司在每一时期的破产概率及最终破产概率，经典的破产模型通常假定保险公司是按照单位时间常数速率收到保费，本文对此略加推广，考虑保费收入是一个Poisson过程，且理赔额是独立指数分布的情形。为此做如下假设：
(i)在时期［0,t］内收到保费的次数｛M(t),t0｝是速率为λ的Poisson过程(M(0)=0)；［0，t］时期内的理赔次数｛N(t),t0｝是速率为μ的Poisson过程(N(0)=0)，两个过程相互独立，且显然应当有λ》μ。
(ii)每次的保费收入为常数c(c＞0),而第k次的理赔额为Xk,｛Xk,k≥1｝是相互独立随机变量并与｛N(t),t≥0｝独立，且Xk,k≥1服从参数为v的相同指数分布，即k≥1
(3.1)
在上述假定之下，获利过程｛S(t),t≥0｝为
(3.2)
为了保证保险公司的稳定经营，通常假设E［S(t)］＞0，即在单位时间内，保费收入大于理赔额：cλ＞μ／v。
设保险公司的初始资本为u,于是破产时间为
保险公司最终破产的概率为
Ψ(u)=Pr｛Tu＜∞｝
容易验证，由(3.2)式定义的获利过程S(t)具有以下性质：
(i)S(0)=0, P－a.s. (ii)｛S(t),t≥0｝具有平稳独立增量。
(iii)E［S(t)］=(cλ－μ／v)t＞0.(iv)存在正数r，使得E［e－rs(t)］＜∞
其中的性质(iii)需要用到.由性质(iv)可知，存在g(.)使
(3.3)
为了得出破产概率，我们需引用如下定理［1］［2］
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